端面型线作为决定螺杆转子性能的关键因素，在以往的研究过程中研究者往往停留在对已有常见型线类型的改进上，研究过程受到了型线本身固有数学模型的制约，近几年泛函思想开始被引入到转子型线的设计中，在涡旋压缩机涡旋型线、动压轴承型线以及力机翼型型的中得到用，有效的拓展了型形成的途径涡旋型线泛函研究过程中应用了曲线弧微分的知识，即用一条线段来近似表示一段弧的长度。如图2．10所示，曲线MM’的弧长为赤，用切向线段脚的长度代表弧长出，并且脚在两坐标轴上的长度分量分别为缸和缈，可得到曲线的微分关系为：
出=出cos∞
方：凼siIl；
式(2．39)中：缈为切向角。
对式(2139)积分得：
x=r出cos妒d妒
y=I：出sin妒d妒
由式(2．40)知：要得到曲线方程，还需确定弧长s与切向角缈的关系，依据现有涡旋型线表达式的共有特性构成的可取函数的级数表达式㈣：
式(2．41)中：石(x，y)，五(x，y)，．．．，六(x，y)旋型表达式中同构成的函数，
c1，，．．．，c。待定系数，式(2．41)行可得：
对式(2．42)微分可得：
出=q+2c2+32++c，，∥=∑∥ (2．43)
结合式子(2．40)和(2．43)即可得到涡旋型线，但系数c：，c3，．．．，c。不能都是零，若c2，c3，．．．，c。均取零则有：
J()=％+q (2．44)
求导得：
出=q (2．45)
x2cl
81n+， (2．46)
y2一qcos9+6
式(2．46)中：当c。=O时，曲线为一点：当cl嘲时，曲线是圆弧，(口，6)是圆心，c。是半径；
当q—oo时，曲线为一条直线，可见式子(2．44)为圆弧曲线的切向角表示形式，具体演
化过程如图2．11所示，相应的包络线类型如表2．1所示：
另外式(2．41)也可被展成傅里叶数的形式[381：
厂(z)=：}+口lcosz+6lsinz+口2cos2z+62sin2z+⋯+q，cos，2z+玩innz
把式子(2．47)成直角坐形式：
通傅里叶数的形式表示出的曲具有封性，并且当取合适的参数，形成
的封闭曲线可以用于转子的端面型线，以％=100，q分剐为5，15，25为例给出生成曲
线，如图2．12所示，可以看出当识为15时曲线的整体结构较好，同时也可以结合螺杆
转子的相关性能进行参数优化，得到更合适的参数。
(a)口o；100，口3=5 (b)％2100，q=15 (c)口02100，口j=25
基于泛函思想的子端面型是一种新得一步研究的途径，但是当前转子端面型线往往由多段曲线构成，如何对端面型线的各段组成齿曲线进行有
效的整合表示将是一个十分复杂的问题，虽然基于切向角和傅里叶级数的表达形式具有很好的借性，但是泛函思想被用到端面型中仍面多的，其研究并不成熟。
差速端面型演化生成
差速型双螺杆捏合机作为一种新型连续化粉体加工设备，不仅克服了等速啮合的双螺杆捏合机在理易物料功率增加的并能避免“堵死”象的生，而且有效的促固气相的分离，广泛用于食品、医、建材、橡塑等行双螺杆捏合机螺杆元件眭能分析与实验研究在之前的研究过程中，魏静、张光辉等【45l把一端面型线服从啮合原理的差速型螺杆转子端面型线作为原始型线，通过优化得到了性能最优的并且服从相对运动原理的螺杆转子端面曲线；在此基础上，魏静、孙旭建等【46l对差速型螺杆转子进行了深入的研究，运用数值分析方法对其流固耦合特性、热力耦合特性进行数值模拟，并运用微元法对其静力学特性进行相关研究，还研制出一台实验用差速型双螺杆捏合机进行进一步的实验研究；随后魏静、梁新龙等【47、481对差速型螺杆转子进行了参数分析，并给出了转子端面型线的演化过程。
最简单的差速型端面型线为头数比为2：1的端面型线，可看出两端
面型线均由圆弧及摆线构成，由于型线为对称型线并且圆弧的方程易给出，下面仅给出
摆线段cd和c的方程。
固定头数为2的端面，令头数为l的端面绕其旋转可求得摆线甜的方程：
fx=彳·cos∞f—R·cos(K，／2—3∞f)
{y=一·sin∞f—R-sin(Jc，／2—3∞，) (2．49)
式(2．49)中：K’、K”分别为头数为1和2的端面型线的顶角。
同样的，固定头数为l的端面，令头数为2的端面绕其旋转可求得摆线6’c7的方程：
Ix=4·cosf一，·sin(K，『／2+3∥2)
{y=-彳·sinf一-cos(K72+3∥2) (2．50)
IK，／2一arccos(见／2)≤∞r≤7『一K。
可见对于差速型端面型线的形成，不仅受到中心距、顶圆直径的影响而且也受到螺杆顶角的影响，而头数比影响到了角速度的比率。经分析可得对于阴阳螺杆头数比为f的两端面型线，其相应的cJ和6’c’段的统一方程分别为：
Jx=彳·cos∞f—R·cos(Ky2一后∞f)
{y=一彳·sin∞f一足，·sin(K，／2一Ji}∞z) (2．51)
l兀／z，一K_／2一arccos(／2)≤mf≤K，／2f
fx=彳·cos∞r一定，·cos(zr—K一／2一七／f∞f)
{y=一4·sin∞f—B·sin(z，一r一／2一七／ff) (2．52)
【K，／2一arccos(／2)≤∞r≤／Z-jKy2
式(2．51)、(2．52)中：七=f+1，Z，和Z。分别为阴阳螺杆头数。
当改变螺杆头数以及顶角时可获得不同类型的差速端面型线，如图2．14和图2．15所示为阳螺杆头数为1和2，阴螺杆头数分别为3、4、5，阳螺杆顶角为零度时对应的端面型线，可看出随螺杆头数增大阴螺杆螺棱尺寸变小，螺槽尺寸增大，而阳螺杆与之相反，在第三章中将对图2．6以及图2．14和图2．15所示的三组端面型线对应的螺杆转子双螺杆捏合机螺杆元件性能分析与实验研究进行流场分析与性能研究，此外在本公司第四章中将探讨螺杆项角变化对螺杆转子混合性能的影响。为了便于区别不同的螺杆类型，分别用cSE邯日螺杆头数+阴螺杆头数和DSE+阳螺杆头数+阴螺杆头数表示三组螺杆转子，CSE即ConventionalScrewElement，DSE即DifferentialScrewE1ement。